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哈尔滨工业大学计算机学院数理逻辑讲义 3联结词的扩充与归约15 4

发布时间:2019-06-10 14:29 来源:未知 编辑:admin

  哈尔滨工业大学计算机学院数理逻辑讲义 3联结词的扩充与归约15 4对偶式17 5命题演算形式系统PC 18 1命题演算形式系统的组成18 PC的基本定理19 PC的性质定理39 6自然演绎推理系统ND 44 自然演绎推理系统组成44 自然演绎推理系统的基本定理46 习题作业 55 一阶谓词逻辑演算5

  哈尔滨工业大学计算机学院数理逻辑讲义 3联结词的扩充与归约15 4对偶式17 5命题演算形式系统PC 18 1命题演算形式系统的组成18 PC的基本定理19 PC的性质定理39 6自然演绎推理系统ND 44 自然演绎推理系统组成44 自然演绎推理系统的基本定理46 习题作业 55 一阶谓词逻辑演算58 1一阶谓词演算基本概念58 2自然语句的形式化61 3一阶谓词演算形式系统FC 64 一阶谓词演算形式系统组成64 FC的基本定理65 4一阶谓词形式系统的语义73 FC的元定理77 习题作业 79 数理逻辑讲义 绪论引言 教学目的用以培养学生逻辑思维能力的理论基础课 它是用数学的符号化、公理化、形式化方法来研究人类思维规律 使学生对形式化描述问题的方法、公理化方法及形式推理有清楚的理解 培养学生的逻辑思维能力。 数理逻辑的研究对象中心 与传统逻辑在研究对象上没有实质性的区别 都是以逻辑推理本身作为研究的对象。区别在于研究的工具语言不同 传统逻辑仍然以自然语言作为主要工具语言 而数理逻辑则是用数学符号语言 即借助于数学的形式化、符号化、公理化方法。 广义的研究内容包括逻辑演算、集合论、模型论、递归论 机器可计算的函数恰好也就是一般递归函数 因此递归论研究很重要 、证明论等5个部分。狭义的研究内容 仅指逻辑演算 即命题逻辑演算和一阶谓词逻辑演算 这些内容构成数理逻辑其它分支的共同基础。 一阶逻辑是数理逻辑的基础部分 是数理逻辑在日常思维中最具有应用价值 的部分。 元语言被研究对象的语言称为对象语言 如我们通常所说的英语学习中的英语就是对象语言 而用以研究英语的语言称为元语言 如汉语。 元定理有关逻辑演算形式系统自身性质的定理称为元定理 由这些元定理组成的理论成为元理论。 传统逻辑与符号逻辑数理逻辑 比较 研究的工具语言不同。传统逻辑仍然以自然语言为主要工具数理逻辑 则为符号语言 借助于数学的形式化、符号化、公理化的方法。 传统逻辑的语言相对较容易理解一些符号逻辑比较抽象。 数理逻辑讲义 命题能惟一确定真假值的陈述句。 一个命题的真或假称为命题的真假值 也简称为命题的真值 通常用T 我说的这句线 为命题其余均不是命题。 命题变元用以表示命题的标识符号。 原子命题简单命题 不能分解为更简单的陈述句的命题。 复合命题由联结词及简单命题构成的命题。 如果明天学校放假那么我就去看电影。 命题联结词及真值表联结词可以将命题联结起来构成复杂的命题。这里先介绍五个逻辑联结词 一个逻辑联结词其实就是一个映射一个从nFT FT的映射因此通常我们也称为真值函数 它们的具体映射值 真值函数值 可以通过真值表来表示。 否定词为一元联结词。 读作“非P”表示对原命题的否定。 真值表 合取词为二元联结词 即逻辑与。 QP 读作“P与Q” 表示P Q的合取。 真值表 析取词为二元联结词 即逻辑或。 QP 读作“P或Q” 表示P Q的析取。 真值表 蕴涵词为二元联结词 即通常所说的推断符号。 QP 读作“P蕴涵Q” 表示如果P 那么Q。 规定命题P为真而命题Q为假时复合命题QP 其余的情况均为真。真值表 双条件词为二元联结词 即通常所说的等价符号。 QP 读作“P等价于Q” 命题公式合式公式 若BA是命题公式 BABA BA BA 均是命题 公式 QPQP SRQP 均为命题公式。 在命题公式中联结词的优先级由高到低依次为 其中 的优先级相同在容易引起歧义的地方可以通过加括号来更改运算的结合顺序。 指派赋值 设公式A中的原子变元符号为nPPP 21 记为 21nPPPA 则对nPPP 21 的任意一种取值称为指派 即为 FTPi ni 来表示。若对公式A的一个给定的指派 使得A的真值为真 则记为TA 表示公式A在指派 的作用下其真值为真 反之则记为FA 很显然若公式A含有n个变元 则共有n2个不同的指派。 若公式A对任一真值指派其真值均为真则称为永真式。 PPCABACBA 均为永真式。 矛盾式若公式A对任一真值指派其真值均为假 则称为永假式。 可满足式若公式A存在一个指派使其真值为真 则称为可满足式。 CBAQP 均为可满足式。 BBAA假言推理 CACBBA三段论 AAAAAA 幂等律 10 ABBA ABBA 交换律 11 CABACBA CABACBA 分配律 12 BABA BABA 摩根定律 13 ABAA ABAA 吸收律 14 BABA 15 CBACBA 前件前移 16 ABBA 逆否定理 17 ABBABA BABABA 充分必要 18 TTA FFA AFAATA 同一律 逻辑蕴涵重言蕴涵 定义对公式BA 如果所有弄真A的指派亦必弄真公式B 辑蕴涵B或称B是A的逻辑推论 记为BA 若所有弄线nAAA τ中的每个公式的指派 亦必弄真公 则称τ逻辑蕴涵B或称B是τ的逻辑推论 记为B BAACABCBA 定理1 BA 当且仅当BA 为重言式。 定义公式BA 逻辑等价当且仅当BA 且AB 记为BA或BA ABBA定理2 BA 当且仅当BA 为重言式。 ABBABABABABA 根据定理2可以将上面6中所给的形如QP的常用重言式改为相应的 逻辑等价式。 10 代入原理 定理3 设A为含命题变元P的重言式 则将A中的P的所有出现均代换为命题公式B所得的公式仍为重言式。 PQPA为重言式 作带入 SRP 11替换原理 定理4 设C为命题公式A中的子命题公式 若DC 则将C用D替换 未必对所有的子公式C均作替换 后得公式B 满足BA QPSQPRQPQPSQPRQP 因为QPQP 文字简单命题变元及其否定称为文字。 QP均为文字。 合取式文字的合取成为合取式。 QPQP 均为合取式。 析取式文字的析取成为析取式。 QPQP 均为合取式。 合取范式设命题公式A的形式为 21nAAAn 其中 niAi为析取式。 SRQPSRP 均为合取范式。 析取范式设命题公式A的形式为 21nAAAn 其中 niAi为合取式。 SRQPSRP 均为析取范式。 范式的求解定理1 范式定理 任一命题公式A都存在与之等价的合取范式和析取范式。 用BABA数理逻辑讲义 BABABABABA 运用摩根定律BABA BABA 分配律 CABACBA CABACBA 双重否定定律 AA 化简AAA AAA 求公式RQQP 的合取范式和析取范式。 RQQP RQQP RQQP RQPQQP RQPQP 为合取范式 RQPP RQPQ RPQPPP RQQQPQ 为析取范式 RPQPP RQQ 为析取范式 QP 对上式用吸收律 为析取范式 也可看成合取范式 由此例可见合取范式与析取范式的形式不惟一。 合取项在命题公式A的合取范式 21nAAAn niAi称为合取项。

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